Графики функций с помощью производной

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами. Алгоритм исследования функции и построения ее графика таков: Находим область определения D f функции.

Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Графики. Задача 1

Если область определения функции симметрична относительно нуля то есть для любого значения из D f значение также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность. Если , то функция четная. Примером четной функции является функция. Если , то функция нечетная. Примером нечетной функции является функция. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс OX. Для этого мы решаем уравнение. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат OY. Для этого ищем значение функции при. Находим промежутки знакопостоянства функции , то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика. Находим асимптоты графика функции. Краткий экскурс на тему, что такое асимптоты и как их находить читайте здесь.

Если функция периодическая, то находим период функции. Исследуем функцию с помощью производной: Промежутки, на которых производная положительна , являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна , являются промежутками убывания функции. Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума. Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

И последний номер наше программы - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости. Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь. Итак, давайте, для примера, исследуем функцию и построим ее график.

Сразу отметим, что при знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля мы выкололи две симметричные точки: Получили, что , следовательно, функция - нечетная , и график функции симметричен относительно начала координат.

Найдем точки пересечения с осями координат. Найдем асимптоты графика функции. Уравнение горизонтальной асимптоты функции имеет вид , где. Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому не существует, и график функции не имеет горизонтальной асимптоты. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид. Коэффициенты и вычисляются следующим образом:. Степень знаменателя на единицу больше степени числителя.

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид. Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что. Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат. На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции п. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним! После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции. Фельдман, репетитор по математике. Ваш e-mail не будет опубликован. Репетитор по математике Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Исследование функции и построение графика. Примером четной функции является функция Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY. Примером нечетной функции является функция График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Для этого мы следуем привычному алгоритму. Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки: Попробуем найти наклонную асимптоту.

Коэффициенты и вычисляются следующим образом: Нанесем асимптоты на координатную плоскость: В корнях четной кратности производная знак не меняет. Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания. Найдем значение функции в точках экстремума: Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

Для вас другие записи этой рубрики: Как найти точку максимума функции Свойства функции Задача на нахождение наибольшего значения Логарифмическая функция, ее свойства и график Производная и касательная.

ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Интерактивная модель Знаки коэффициентов квадратного трехчлена. Скажите, какой написать вывод к этому решению? Добавить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован. ЕГЭ-ТРЕНЕР, видеоуроки по математике Ольги Себедаш.

Подготовка к ЕГЭ и ДВИ в МГУ. Простая физика - сайт Анны Денисовой. EgeMaximum - сайт Елены Репиной. Индивидуальная подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по математике. Справочные материалы, видеолекции и видеоуроки по математике. Главная Карта сайта Репетитор Библиотека Статьи Контакты.

Материалы по теме
Для того, чтобы оставить комментарий, Вы должны авторизоваться.
Гость

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами. Функция является нечетной, так как.